En la defición de los campos, separamos nombre y apellido, pero el usuario debe buscar tomando el nombre completo y teniendo una parte del mismo para hacer la consulta
¿Como lo hacemos?
Observemos usamos la el sql crudo para hacer la concatenacion y sobre esa aplicamos el comando LIKE
$clients = Client::where(DB::raw("concat(name, ' ', lastName)"), 'LIKE', "%" . $this->search . "%")->paginate(50);
Espero te sea útil